在数学规划问题中，若目标函数为分式函数，且约束条件中的函数是线性的，则称线性规划分式规划，简称分式规划。
分式规划通常可表示为如下形式：
$$ \begin{array}{l}\min \frac{\boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+\alpha}{\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+\beta} \\\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} \leq \boldsymbol{b} \\\boldsymbol{x} \geq \mathbf{0}\end{array}\right.\end{array} $$
其中， $α$， $β$ 为常数； $\bm{p}$， $\bm{q}$ 为 n 维列向量； $\bm{A}$ 为 m × n 阶矩阵。
这一类问题有类似于线性规划问题的极好的性质。
若分式规划问题存在最优解，则最优解可在可行域顶点上达到。任一局部极小值即全局极小值。
由 Charnes 和 Cooper 于 1962 年提出的用单纯刑法求解分式规划问题的方法： 设集合上 $S = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \bm{Ax} \leq \bm{b}, \bm{b} \geq \bm{0} \}$是有界闭集，且对 ∀ x ∈ S ，有 $\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta > 0$q。引入新变量 z ，令 $z = \frac{1}{\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta}$ ,$\bm{y} = z \bm{x}$则以上模型可转化为线性规划模型：
$$ \begin{array}{c}\min \boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+\alpha \mathrm{z} \\\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{b z} \leq 0 \\\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+\beta \mathrm{z}=1 \\\boldsymbol{y} \geq 0, \mathrm{z} \geq 0\end{array}\right.\end{array} $$
至此，可用单纯形法来求解此规划，并最终得到原分式规划的最优解。
原分式 $\frac{\bm{p}^\text{T}\bm{x} + \alpha}{\bm{q}^\text{T}\bm{x} + \beta}$转化为
$$ \begin{aligned}\frac{\boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+\alpha}{\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+\beta} &=\frac{\boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+\beta}+\frac{\alpha}{\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+\beta} \\&=\boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x} \mathrm{x}+\alpha \mathrm{z} \\&=\boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+\alpha \mathrm{z} .\end{aligned} $$
原约束 $\bm{Ax} \leq \bm{b}$转化为：
$$ \begin{aligned}\boldsymbol{A} \boldsymbol{x} & \leq \boldsymbol{b} \\\boldsymbol{A} \frac{\boldsymbol{y}}{\mathrm{z}} & \leq \boldsymbol{b} \\\boldsymbol{A} \boldsymbol{y} & \leq \boldsymbol{b z} \\\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{b \mathrm { z }} & \leq 0\end{aligned} $$
z=qTx+β1 转化为：
$$ \begin{array}{r}\mathrm{z}\left(\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{x}+\beta\right)=1 \\\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} \mathrm{z} \boldsymbol{x}+\beta \mathrm{z}=1 \\\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+\beta \mathrm{z}=1\end{array} $$
例 : 求解下列分式规划：
解 : 令 $z = \frac{1}{x_1 + 3x_2 + 4}$， $\bm{y} = z\bm{x}$，则原分式规划问题可转化为如下等价的线性规划模型：
$$ \begin{array}{c}\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\2 & 1 \\0 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{c}4 \\14 \\6\end{array}\right], \boldsymbol{y}=\left[\begin{array}{l}\mathrm{y}{1} \\\mathrm{y}{2}\end{array}\right], \boldsymbol{p}=\left[\begin{array}{c}-2 \\1\end{array}\right], \boldsymbol{q}=\left[\begin{array}{l}1 \\3\end{array}\right] \\\alpha=2, \beta=4 .\end{array} $$
$$ \begin{array}{c}\boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+\alpha \mathrm{z}=-2 \mathrm{y}{1}+\mathrm{y}{2}+2 \mathrm{z} \\\boldsymbol{A} \boldsymbol{y}-\boldsymbol{b \mathrm { z }} \leq 0 \rightarrow \\-\mathrm{y}{1}+\mathrm{y}{2}-4 \mathrm{z} \leq 0 \\2 \mathrm{y}{1}+\mathrm{y}{2}-14 \mathrm{z} \leq 0 \\\mathrm{y}{2}-6 \mathrm{z} \leq 0 \\\boldsymbol{q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+\beta \mathrm{z}=1 \rightarrow \\\mathrm{y}{1}+3 \mathrm{y}_{2}+4 \mathrm{z}=1\end{array} $$
$$ \begin{array}{c}\min -2 \mathrm{y}{1}+\mathrm{y}{2}+2 \mathrm{z} \\\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{y}{1}+\mathrm{y}{2}-4 \mathrm{z} \leq 0 \\2 \mathrm{y}{1}+\mathrm{y}{2}-14 \mathrm{z} \leq 0 \\\mathrm{y}{2}-6 \mathrm{z} \leq 0 \\\mathrm{y}{1}+3 \mathrm{y}{2}+4 \mathrm{z}=1 \\\mathrm{y}{1} \geq 0, \mathrm{y}_{2} \geq 0, \mathrm{z} \geq 0\end{array}\right.\end{array} $$
首先化成标准型：
$$ \begin{array}{l}\min w=-2 \mathrm{y}{1}+\mathrm{y}{2}+2 \mathrm{z}\\\max (-\mathrm{w})=2 \mathrm{y}{1}-\mathrm{y}{2}-2 \mathrm{z}-\mathrm{My}{6}\\\text { s.t. }\left\{\begin{array}{l}-\mathrm{y}{1}+\mathrm{y}{2}-4 \mathrm{z}+\mathrm{y}{3}=0 \\2 \mathrm{y}{1}+\mathrm{y}{2}-14 \mathrm{z}+\mathrm{y}{4}=0 \\\mathrm{y}{2}-6 \mathrm{z}+\mathrm{y}{5}=0 \\\mathrm{y}{1}+3 \mathrm{y}{2}+4 \mathrm{z}+\mathrm{y}{6}=1 \\\mathrm{y}_{\mathrm{j}} \geq 0, \mathrm{z} \geq 0\end{array}\right.\end{array} $$
初始单纯形表：
最优单纯形表：
故：$y_1 = \frac{7}{11}$， $y_2 = 0$， $z = \frac{1}{11}$是以上线性规划模型的最优解。 故原分式规划的最优解为 $x_1 = \frac{y_1}{z} = 7$， $x_2 = \frac{y_2}{z} = 0$。